Conjuntos – Definición de conceptos básicos

Los conjuntos son la piedra angular sobre la cuál se construyen todas las áreas de las matemáticas. Esto puede no sonar familiar, pues en la escuela quizá más bien la recordemos como la materia donde hacíamos operaciones entre números (o variables en álgebra) para conseguir resultados exactos. Los conjuntos se utilizan para definir formalmente conceptos como números naturales, números racionales, dominio, rango, funciones. Así pues, para tener un entendimiento profundo sobre las matemáticas es indispensable contar con conocimientos básicos de la teoría de conjuntos.

Un conjunto es una colección de objetos. Y a esos objetos que contiene el conjunto, les llamamos elementos. Puede haber conjuntos de toda clase de objetos: animales, personas, ciudades, etcétera. Pero en el contexto del estudio de las matemáticas, nos interesamos más por los conjuntos de objetos matemáticos como números, puntos, vectores, funciones, etcétera.

Para describir conjuntos, utilizamos una lista de sus elementos separados por comas; y esa lista la rodeamos con llaves. Por ejemplo, “\left\{ 1, 2, 3 \right\}” describe un conjunto con tres elementos (1, 2, y 3).

Hay conjuntos finitos e infinitos. Como has de imaginar, los conjuntos finitos tienen una cantidad finita de elementos (se pueden contar). Y los conjuntos infinitos son aquellos que no son finitos. Para describir conjuntos infinitos nos valemos de los puntos suspensivos. Por ejemplo, el conjunto de números enteros (al que popularmente se le refiere con el símbolo \mathbb{Z} ), que es un conjunto infinito, se puede describir como:

\mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -2, -1, 0, 1, 2, \cdots \right\} .

Para expresar matemáticamente que un objeto (como por ejemplo, x ) pertenece a un conjunto (como A ) utilizamos el símbolo “\in “: “x \in A ” se lee como “x pertenece al conjunto A “, o simplemente “x está en A “. Por el contrario, el símbolo “\notin ” se utiliza para expresar que un objeto “no pertenece a” (o “no está dentro de”) un conjunto. Así “y \notin A ” se puede leer como “y no está en A “.

La igualdad entre dos conjuntos sucede cuando ambos tienen exactamente los mismos elementos. Para expresar matemáticamente la igualdad de los conjuntos A y B los escribimos separados por el signo “= “, es decir “A=B “. Lo anterior implica que si x \in A , entonces x \in B . Y al contrario, la desigualdad entre dos conjuntos sucede cuando alguno tiene uno o más elementos que el otro no tiene. Para expresar que los conjuntos C y D son diferentes, los colocamos alrededor del signo “\neq “, así: “C \neq D “.

Hay un conjunto en el cuál tenemos un interés muy particular: el conjunto vacío. Que como su nombre sugiere, no tiene elemento alguno. Como no tiene elementos, su descripción consiste en unas llaves sin nada entre ellas “\left\{ \right\} “. O también, para referirnos a él, podemos utilizar el símbolo “\varnothing “.

A los matemáticos les gusta ponerle nombres a toda clase de atributos que tienen los objetos. Y por eso también le pusieron un nombre especial a la cantidad de elementos que tiene un conjunto: cardinalidad (a la que también podemos referirnos como el “tamaño del conjunto”). Y para expresar la cardinalidad de un conjunto A lo escribimos entre dos barras verticales: “\left| A \right| “. Por ejemplo, si A = \left\{ 2, 8, 12 \right\} entonces su cardinalidad tiene un valor de \left| A \right| = 3 .

Otra notación frecuente para describir conjuntos consiste en escribir una expresión matemática y un grupo de condiciones que la expresión debe cumplir para que su resultado pertenezca al conjunto. A esta notación se le llama notación constructora. Al utilizarla, se escribe la expresión y la condición separadas por dos puntos, y todo rodeado por llaves. Por ejemplo, para describir el conjunto que abarca los números enteros que son pares podemos escribir:

E = \left\{ n \in \mathbb{Z} : n \ \mathrm{es\ par} \right\} .

Referencia

Richard Hammack, “Sets” en “Book of Proof (3rd Edition)”. 2018.

2 thoughts on “Conjuntos – Definición de conceptos básicos

  1. Hola Ricardo,
    Qué gusto es escribirte. ¿Como te ha ido? Ojalá que muy bien.
    Oye, solo por completar tu nota; en la parte de conjuntos infinitos te falto describir a aquellos que son numerables (donde se puede establecer una relación uno a uno con el conjunto de los naturales) y los no-numerables (donde no existe dicha relación).

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    1. Hola Alberto,

      Me da mucho gusto recibir un comentario tuyo. He estado muy bien, adaptándome a la vida de casado, continuando los proyectos personales (como estas cápsulas sobre matemáticas, ingeniería, lenguajes, etcétera), y siempre aprendiendo de la experiencia y los errores. ¿Qué tal a ti?

      Sobre el detalle que mencionas: cuéntame un poco más. ¿Cómo se diferencían los conjuntos numerables (que en efecto, no los menciono en el artículo) de los conjuntos finitos (que menciono en el párrafo donde escribí la definición de los conjuntos infinitos)? ¿existen conjuntos finitos que no sean numerables, o todos los conjuntos finitos son numerables? Y de igual forma: ¿habrá conjuntos no-numerables que no sean infinitos, o todos los conjuntos no-numerables son infinitos?

      Te pregunto con la triple intención de:
      – Descubrir si no es redundante definirlos por separado o será mejor presentarlos como nombres alternos del mismo concepto.
      – En caso de ser conceptos no equivalentes, entonces contar con una descripción intuitiva de los conjuntos numerables y no numerables que podamos compartir con la audiencia.
      – ¡Yo mismo aprender!

      ¡Saludos y muchas gracias!

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