Morfología de los verbos del Finés

Diferentes cuerpos y sufijos

Los verbos del Finés, al igual que las palabras nominales, tienen cuerpos de inflexión y sufijos. Además, los verbos poseen también un cuerpo infinitivo.

El cuerpo infinitivo, junto con un sufijo infinitivo se utilizan para componer una de las formas infinitivas de los verbos. Por ejemplo, del verbo valita (escoger, elegir, seleccionar):

  • Su cuerpo infinitivo es valit-.
  • Su sufijo infinitivo es -a.
  • Su cuerpo de inflexión es valitse-.

cuerpo infinitivo + sufijo infinitivo = forma infinitiva

A las formas infinitivas terminadas en -a ~ -ä (como valita) se les llama formas infinitivas de tipo A, o primer infinitivo. Existen otras formas infinitivas en las que podemos profundizar después:

  • Infinitivos de sufijo -essa ~ -essä, -en. También llamado forma infinitiva de tipo E, o segundo infinitivo.
  • Infinitivos de sufijo -massa ~ -mässä, -masta ~ -mästä, -maan ~ -mään, -malla ~ -mallä, -matta ~ -mättä, -man ~ -män. También llamado tercer infinitivo. Formados al añadir al cuerpo infinitivo la extensión -ma- y flexionar a los casos: inesivo, elativo, ilativo, adesivo, abesivo, e instructivo.
  • Infinitivos de sufijo -minen. También llamados cuarto infinitivo.

El cuerpo de inflexión se utiliza para hacer conjugaciones para las diferentes personas y tiempos gramaticales. Por ejemplo, el verbo valita conjugado a la primera persona del singular en tiempo presente simple se escribe valitsen (se agrega la terminación personal -n). Los verbos, por efectos de la gradación consonante, pueden tener dos cuerpos de inflexión.

El primer infinitivo

Los la forma del primer infinitivo tienen cuatro sufijos infinitivos diferentes:

  1. -a, o .
  2. -da, o -dä.
  3. -ta, o -tä.
  4. -la, o -lä; -na, o -nä; -ra, o -rä. Se puede memorizar con la frase “la rana”.

El sufijo infinitivo -a ~ -ä se utiliza cuando el cuerpo infinitivo de la palabra termina en una vocal corta.

  • anta-a (dar).
  • alka-a (comenzar).
  • katso-a (mirar).
  • puhu-a (hablar).
  • kysy-ä (preguntar).
  • lähte-ä (salir).
  • pitä-ä (sostener).
  • tietä-ä (saber).

El sufijo -a ~ -ä también ocurre cuando el cuerpo infinitivo termina en una vocal corta seguida por t.

  • huomat-a (notar).
  • halut-a (querer).
  • tekstat-a (enviar un mensaje).
  • vastat-a (responder).
  • herät-ä (despertar).
  • hypät-ä (brincar).
  • määrät-ä (ordenar).
  • kerät-ä (recojer).

El sufijo -da ~ -dä ocurren cuando el cuerpo infinitivo termina en una vocal larga o en diptongo.

  • saa-da (conseguir).
  • tuo-da (traer).
  • kopioi-da (copiar).
  • luennoi-da (exponer).
  • jää-dä (permanecer, quedarse).
  • vie-dä (tomar, llevar).
  • syö-dä (comer).
  • pysäköi-dä (estacionar).

El sufijo -ta ~ -tä ocurre cuando el cuerpo infinitivo termina en s.

  • nous-ta (levantar).
  • juos-ta (correr).
  • mumis-ta (mascullar, hablar entre dientes).
  • valais-ta (iluminar, aluzar).
  • pääs-tä (conseguir, alcanzar, tener permitido).
  • tönäis-tä (empujar, dar un toque para llamar atención).
  • pes-tä (lavar).
  • vilis-tä (abundar).

Los sufijos -la ~ -lä, -na ~ -nä, y -ra ~ -rä ocurren cuando el cuerpo infinitivo termina en la misma consonante (l, n, o r).

  • tul-la (venir).
  • ol-la (ser, estar).
  • ajatel-la (pensar).
  • pan-na (poner).
  • pur-ra (morder).
  • vietel-la (seducir, conquistar).
  • niel-lä (tragar, deglutir, deborar).
  • men-nä (ir).

Otros usos del cuerpo infinitivo

En todos los verbos, el cuerpo infinitivo (sin terminaciones infinitivas) se utiliza para:

  • Formar los participios de terminación -nut ~ -nyt, y -ttu -tty.
  • La mayoría de las formas imperativas.
  • Las formas potenciales (agregando la extensión -ne- y un sufijo personal).
  • Las formas pasivas.

Relación con la clasificación de los verbos

En el Finés, es muy común que se clasifiquen los verbos según la relación entre su cuerpo infinitivo y su cuerpo de inflexión. A continuación ejemplifico con los verbos de tipo 1, 2 y 4.

Se le llama verbo de tipo 1 a aquellos cuyo cuerpo infinitivo termina en una vocal corta (y por lo tanto tienen una terminación infinitiva -a ~ -ä). Estos verbos tienen un cuerpo inflexión igual al cuerpo infinitivo.

Los verbos de tipo 2, que tienen un cuerpo infinitivo terminado en vocal larga o diptongo, tienen también su cuerpo de inflexión igual al cuerpo infinitivo. Su terminación del primer infinitivo es -da ~ -dä.

Se les llama verbos de tipo 4 a los verbos con cuerpo infinitivo termina en -at- o -ät- (y le corresponde la terminación del primer infinitivo -a ~ -ä). Su cuerpo de inflexión se forma cambiando la t final por la misma vocal que le precede. Por ejemplo, el cuerpo de inflexión de huomata (notar, darse cuenta) es huomaa-.

Sistemas Embebidos: latencia fija

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Introducción

En sistemas embebidos, es común encontrar situaciones en que es mejor tener una latencia precisa que pequeña. En otras palabras, es mejor un sistema lento pero que responde en un tiempo conocido, que un sistema rápido cuyo tiempo de respuesta es desconocido.

Ejemplo

Supongamos que queremos construir un sistema esclavo que ejecute los comandos enviados por un dispositivo maestro. Para implementar un sistema de latencias predeterminadas propongo utilizar un par de hilos de ejecución (threads) y un par de filas (queues) con capacidad de un elemento.

El primer hilo de ejecución se encargará de manejar la comunicación entre nuestro sistema y el dispositivo maestro. El segundo hilo se encargará de ejecutar los comandos solicitados por el dispositivo maestro.

Nuestro sistema tendría entonces dos filas: una donde el hilo de comunicaciones coloca las solicitudes de ejecución de los comandos; y la otra donde el hilo de ejecución de comandos coloca las respuestas de los comandos.

Análisis

Supongamos que nuestra interfaz para ejecutar un comando se llama ejecutar_comando, y que pretendemos garantizar una latencia de respuesta fija a la que simbólicamente me refiero como LATENCIA_FIJA. Su implementación sigue el algoritmo descrito por el pseudo-código debajo de este párrafo.


ejecutar_comando(comando, parámetros, respuesta):
    respuesta = NADA
    si hilo_de_ejecución_esta_ocupado():
        retornar OCUPADO
    poner_comando_en_fila_de_ejecución(
        comando, parámetros)
    esperar(LATENCIA_FIJA)
    si fila_de_respuestas_esta_llena():
        respuesta = sacar_respuesta_de_fila()
        retornar ÉXITO
    en otro caso:
        retornar SIN_RESPUESTA

Un segundo beneficio

Con este esquema de trabajo ganamos un segundo beneficio, además de la latencia predeterminada. Al tener un hilo de ejecución para las comunicaciones y otro para la ejecución de comandos, en caso de que haya un problema será más sencillo distinguir si: es causado por un comando que no funciona, o porque las comunicaciones no están funcionando apropiadamente.

¿En qué caso se usa esto?

Y a todo esto ¿para qué querríamos la latencia fija en la práctica? La respuesta radica en la sensibilidad del dispositivo maestro a la latencia de los sistemas que controla. Por ejemplo, si el dispositivo maestro es un sistema de latencia indeterminada (quizá porque su implementación usa tecnología vieja, o utiliza un sistema operativo que planea sus tareas de forma no determinística), entonces es importante poder garantizarle una latencia fija a la cuál podrá obtener respuesta de los sistemas que controla.

Los enunciados “täytyy” del Finés

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Significado y construcción

Los enunciados “täytyy” expresan obligación o necesidad. En el Español tenemos enunciados como “tengo que estudiar”, “debes irte ahora”, o “tenemos que descansar”; para expresar lo mismo.

Para escribir un enunciado “täytyy” podemos utilizar la siguiente fórmula:

G + “täytyy” + infinitiivi

Donde G es el sujeto de la oración en la forma del caso genitivo. Después se agrega la palabra “täytyy”. Y finalmente, se agrega alguna frase infinitiva. Aquí van algunos ejemplos:

  • “Minun täytyy opiskella.” (en Español “Debo estudiar.”)
  • “Hannan täytyy levätä.” (“Hanna tiene que descansar.”)

Para expresar que algo es opcional o no necesario podemos utilizar los enunciados “täytyy” negativos. La fórmula es muy parecida: solo cambiamos la palabra “täytyy” por “ei tarvitse” (que literalmente significa “no es necesario”).

G + “ei tarvitse” + infinitiivi

Aquí van unos ejemplos de enunciados “täytyy” negativos:

  • “Pedron ei tarvitse mennä lääkärille.” (“Pedro no necesita ir al doctor.”)
  • “Meidän ei tarvitse opiskella ruotsia.” (“No necesitamos estudiar Sueco.”)

Los enunciados “täytyy” pueden utilizar otras palabras además de “täytyy” para expresar lo mismo. Entre esas palabras, se utilizan comunmente “pitää” y “on pakko”. Por ejemplo, las siguientes oraciones expresan lo mismo (“Debo estudiar.”):

  • “Minun täytyy opiskella.”
  • “Minun pitää opiskella.”
  • “Minun on pakko opiskella.”

Objeto

Los objetos directos de los enunciados “täytyy” pueden ser diferentes a sus análogos en oraciones normales. Siendo más específico:

  • Si el enunciado normal tiene su objeto en la forma del caso genitivo, entonces el enunciado “täytyy” correspondiente va en la forma del caso nominativo.
    • “Ostamme auton.” cambia a “Meidän täytyy ostaa auto.”. Aquí, el objeto del enunciado original está en la forma del caso genitivo porque se refiere a un carro en particular. Expresa: “Compramos el carro.”.
    • “Tiina pesee ikkunan.” cambia a “Tiinan täytyy pestä ikkuna.”
  • Si el enunciado normal tiene su objeto en la forma del caso partitivo, dicho objeto permanece en la forma del caso partitivo en el enunciado “täytyy”.
    • “Minä en siivoa keittiötä.” queda como “Minun ei tarvitse siivota keittiötä.”. El enunciado original tiene objeto en forma del caso partitivo por ser un enunciado negativo.
    • “Äiti ostaa maitoa ja juustoa.” queda como “Äidin pitää ostaa maitoa ja juustoa.”. El enunciado original tiene un objeto en caso partitivo porque sus objetos son sustantivos expresan composición material o no son contables.
    • “Hän opiskelee ruotsia.” queda como “Hänen täytyy opiskella ruotsia.”. El enunciado original tiene objeto partitivo porque el verbo “opiskella” (“estudiar”) requiere que su objeto directo esté en dicho caso.
    • “Luen illalla kirjaa sängyssä.” queda como “Minun täytyy lukea kirjaa illalla, että voin nukkua.”. El enunciado original tiene objeto partitivo porque pretende expresar una acción no resultativa. Es decir, no pretende expresar la acción de leer todo un libro. Nótese que el enunciado “täytyy” correspondiente es una frase más compleja (añade el complemento “että voin nukkua”) y aún así se respeta la regla que concierne al objeto directo.
  • Si el enunciado normal tiene un objeto en la forma del caso plural nominativo, entonces el enunciado “täytyy” correspondiente también tiene su objeto en la forma del plural nominativo.
    • “Minä ostan uudet kengät” pasa a ser “Minun täytyy ostaa uudet kengät.”.

Referencias

“Suomen Mestari 2” de Sonja Gehring y Sanni Heinzmann. Capítulo 2 “Hannah on sairas”. Páginas 55 y 56.

El bloqueo del escritor perfeccionista

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Quizá te pase frecuentemente que, llegas a tu escritorio muy inspirado con una idea brillante en la cabeza. Le quieres compartir esa idea al mundo: vas a escribir sobre ella. Seguramente será de mucho agrado o utilidad a esas personas que están atentas a lo que dices. Sacas rápidamente una hoja en blanco (o tu editor de texto en la computadora o en el celular) y empiezas a escribir. Pero conforme pasa el tiempo te das cuenta que no llegas a ningún lado: la hoja sigue en blanco, o no te convence lo que has escrito. Y entonces la enmienda de comunicar tu idea se ve interrumpida por un problema que muchos escritores llaman: el bloqueo del escritor. A mi también me ha pasado, y he podido salir de él. Aquí te comparto una de las formas en que lo he hecho.

Para superar el bloqueo del escritor primero debo esclarecer cuál es la causa. Es decir, enumerar las razones por las que he dejado de escribir de forma específica (en vez de utilizar el apodo genérico de bloqueo del escritor). Por ejemplo, puede que descubra que aquello que me frena la escritura sea realmente temor a la imperfección, desconocimiento del tema, falta de vocabulario. Los problemas abstractos tienen soluciones abstractas, y los problemas concretos tienen soluciones concretas: ¿porqué he dejado de escribir?.

Uno de los problemas que más me bloquean para escribir es anhelar un texto perfecto. Suele pasar que, incluso cuando estoy más motivado o cuando tengo las mejores ideas en la cabeza, empiezo a escribir ese artículo y de repente me detengo en seco para revisar mi progreso. Entonces me doy cuenta que no he introducido el tema de una forma amistosa para la audiencia, que los párrafos podrían tener más consistencia, que la variedad de mi léxico hace la lectura un poco aburrida, etcétera. Y después, me doy mi propio golpe de gracia comenzando a corregir el trabajo que ya llevaba hecho: borrando por aquí, añadiendo por allá. Y lo mismo vuelve a pasar con la segunda revisada.

Para evitar este tipo de bloqueo, pongo mi mente en dos estados distintos: el escritor creativo y el editor estricto. En orden, y de forma separada: nunca revueltos, de forma simultánea. Cuando me pongo el sombrero del escritor creativo, entonces escribo sin parar todas las ideas como van saliendo de mi cabeza. En ese momento me importa poco la estructura, la presentación, y demás buenas prácticas de una buena redacción. Habiendo terminado el bosquejo, puedo ahora entrar en el rol del editor estricto. Como editor estricto selecciono contenido, lo clasifico en sus partes, le doy estructura, lo corrijo, etcétera.

La principal desventaja de jugar ambos roles a la vez es que el trabajo de uno suele estropear el trabajo del otro. Cuando el editor estricto termina de hacer sus cambios y entra el escritor creativo de vuelta, corro el riesgo de que el editor tenga que modificar todo el trabajo (y no solo aquello que fue añadido al final). Y cuando el escritor creativo termina de añadir sus ideas frescas y regresa el editor estricto, este último encuentra un desastre que hay que limpiar de nuevo. Así entonces, hay que mantener ambos roles separados.

He visto que aspirar al texto perfecto detiene a muchos escritores, e incluso acaba completamente con su inspiración para escribir. Quise escribir este pequeño texto dedicado a ellos para darles una esperanza y vuelvan a encarar su hoja en blanco y expresen lo que tienen que decirle al mundo. ¡Espero les sirva como a mi me sirvió cuando me compartieron estos consejos!

La relación entre la morfología y la sintaxis del Finés

Las frases: las piezas que pueden formar oraciones

Las piezas principales de una oración son los verbos, los sustantivos, los pronombres, los numerales, las aposiciones, y los adverbios. Cada una de estas palabras puede ser la cabeza de una frase que corresponde a su rol en la oración. Y cuando es así, puede que lleven cerca algunas palabras acompañantes que, si son obligatorias se les llama complementos, y si no lo son entonces se les llama modificadores (indicados con paréntesis).

Los sustantivos son la pieza principal de las frases sustantivas. Por ejemplo, en la frase “este auto negro” (tämä) (musta) auto, “auto” es la palabra principal de la frase, mientras “tämä” y “musta” son modificadores.

Los adjetivos forman frases adjetivas, como “muy bello“: (hyvin) kaunis.

Los numerales forman frases numerales. Como por ejemplo, “dos carros”: kaksi (autoa).

Las aposiciones forman frases aposicionales, como “sin azúcar”: ilman (sokeria); o “cerca de Helsinki”: Helsingin lähellä.

Los adverbios son la cabeza de las frases adverbiales, como “muy rápidamente” (o simplemente “muy rápido“): (hyvin) nopeasti.

Las funciones sintácticas de las frases

Cada tipo de frase tiene un rol en las oraciones, llamado función sintáctica. Las más importantes son: sujeto, objeto, complemento del predicado, y las adverbiales (que expresan instrumentos, lugares, maneras, etcétera). Y según sea la función sintáctica se colocan alrededor del verbo principal de la oración.

Los verbos intransitivos (como tulla “venir”) sólo necesitan una frase: ya sea sustantiva o numeral, para desempeñar la función de sujeto. En contraste, los verbos transitivos (como ostaa “comprar”) requieren al menos dos frases (también sustantivas o numerales): una como sujeto, y otra como objeto.

Hay otros verbos intransitivos (como asua “vivir”) que requieren una frase sustantiva y otra adverbial. Y el verbo olla requiere también dos frases, normalmente una como sujeto y otra como complemento del predicado (por ejemplo Auto on musta “El carro es negro”).

Los sufijos de caso y las frases aposicionales tienen dos objetivos:

  • expresar algún significado inherente, o
  • expresar la función sintáctica de la frase en la que aparecen.

Por ejemplo, analicemos la frase Leena osti auton Kallelta “Leena le compró el auto a Kalle”. El verbo principal es osti “compró”, que está conjugado a la tercera persona del singular en tiempo imperfecto (que equivale al tiempo gramatical del español “pretérito simple” o simplemente “pasado”). Se trata de un verbo transitivo que requiere dos frases para las funciones de sustantivo y de objeto. La frase sustantiva Leena juega el papel del sustantivo de la oración. El hecho de que esté escrita en caso nominativo indica que Leena es el autor/agente/provocador del verbo. La frase sustantiva auton, escrita en caso genitivo, indica que se trata de un objeto afectado por la acción expresada por el verbo (fue comprado) y por lo tanto desempeña la función de objeto de la oración. Finalmente, el caso ablativo en la frase sustantiva Kallelta expresa el origen de la acción por lo que desempeña una función adverbial.

Los casos nominativo, genitivo y partitivo indican que la frase en que se usan llevan la función de sujeto, predicado y o complemento del predicado. El acusativo tiene el objetivo de marcar objetos pronominales (reflexivos, como en el español “me”, “te”, “se”, “nos”, “les”). Y los otros casos (esivo, translativo, inesivo, elativo, ilativo, adhesivo, ablativo, alativo, instructivo y comitativo) son marcas de frases de función sintáctica adverbial.

Las aposiciones indican que las frases en las que aparecen (frases aposicionales) desempeñan funciones adverbiales. Sin embargo, también pueden utilizarse como modificadores de una frase sustantiva (como “la silla que está al lado del sofá” tuoli, joka on sohvan lähellä).

Conjuntos – Definición de conceptos básicos

Los conjuntos son la piedra angular sobre la cuál se construyen todas las áreas de las matemáticas. Esto puede no sonar familiar, pues en la escuela quizá más bien la recordemos como la materia donde hacíamos operaciones entre números (o variables en álgebra) para conseguir resultados exactos. Los conjuntos se utilizan para definir formalmente conceptos como números naturales, números racionales, dominio, rango, funciones. Así pues, para tener un entendimiento profundo sobre las matemáticas es indispensable contar con conocimientos básicos de la teoría de conjuntos.

Un conjunto es una colección de objetos. Y a esos objetos que contiene el conjunto, les llamamos elementos. Puede haber conjuntos de toda clase de objetos: animales, personas, ciudades, etcétera. Pero en el contexto del estudio de las matemáticas, nos interesamos más por los conjuntos de objetos matemáticos como números, puntos, vectores, funciones, etcétera.

Para describir conjuntos, utilizamos una lista de sus elementos separados por comas; y esa lista la rodeamos con llaves. Por ejemplo, “\left\{ 1, 2, 3 \right\}” describe un conjunto con tres elementos (1, 2, y 3).

Hay conjuntos finitos e infinitos. Como has de imaginar, los conjuntos finitos tienen una cantidad finita de elementos (se pueden contar). Y los conjuntos infinitos son aquellos que no son finitos. Para describir conjuntos infinitos nos valemos de los puntos suspensivos. Por ejemplo, el conjunto de números enteros (al que popularmente se le refiere con el símbolo \mathbb{Z} ), que es un conjunto infinito, se puede describir como:

\mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -2, -1, 0, 1, 2, \cdots \right\} .

Para expresar matemáticamente que un objeto (como por ejemplo, x ) pertenece a un conjunto (como A ) utilizamos el símbolo “\in “: “x \in A ” se lee como “x pertenece al conjunto A “, o simplemente “x está en A “. Por el contrario, el símbolo “\notin ” se utiliza para expresar que un objeto “no pertenece a” (o “no está dentro de”) un conjunto. Así “y \notin A ” se puede leer como “y no está en A “.

La igualdad entre dos conjuntos sucede cuando ambos tienen exactamente los mismos elementos. Para expresar matemáticamente la igualdad de los conjuntos A y B los escribimos separados por el signo “= “, es decir “A=B “. Lo anterior implica que si x \in A , entonces x \in B . Y al contrario, la desigualdad entre dos conjuntos sucede cuando alguno tiene uno o más elementos que el otro no tiene. Para expresar que los conjuntos C y D son diferentes, los colocamos alrededor del signo “\neq “, así: “C \neq D “.

Hay un conjunto en el cuál tenemos un interés muy particular: el conjunto vacío. Que como su nombre sugiere, no tiene elemento alguno. Como no tiene elementos, su descripción consiste en unas llaves sin nada entre ellas “\left\{ \right\} “. O también, para referirnos a él, podemos utilizar el símbolo “\varnothing “.

A los matemáticos les gusta ponerle nombres a toda clase de atributos que tienen los objetos. Y por eso también le pusieron un nombre especial a la cantidad de elementos que tiene un conjunto: cardinalidad (a la que también podemos referirnos como el “tamaño del conjunto”). Y para expresar la cardinalidad de un conjunto A lo escribimos entre dos barras verticales: “\left| A \right| “. Por ejemplo, si A = \left\{ 2, 8, 12 \right\} entonces su cardinalidad tiene un valor de \left| A \right| = 3 .

Otra notación frecuente para describir conjuntos consiste en escribir una expresión matemática y un grupo de condiciones que la expresión debe cumplir para que su resultado pertenezca al conjunto. A esta notación se le llama notación constructora. Al utilizarla, se escribe la expresión y la condición separadas por dos puntos, y todo rodeado por llaves. Por ejemplo, para describir el conjunto que abarca los números enteros que son pares podemos escribir:

E = \left\{ n \in \mathbb{Z} : n \ \mathrm{es\ par} \right\} .

Referencia

Richard Hammack, “Sets” en “Book of Proof (3rd Edition)”. 2018.

Teoría de Conjuntos – Ejercicio de construcción de un conjunto

Enunciado

Escriba el siguiente conjunto listando sus elementos entre llaves:

\tilde{A} = \left\{ 5x : x \in \mathbb{Z}, \left| 2x \right| \leq 8 \right\} .

Solución

El enunciado del ejercicio define el conjunto \tilde{A} utilizando la notación generadora de conjuntos. Más a detalle, está compuesta de una expresión (5x ), y de dos condiciones (x \in \mathbb{Z} , y \left| 2x \right| \leq 8 ). Los elementos del conjunto son los resultados de evaluar en la expresión aquellos objetos que satisfagan las condiciones.

¿Y qué objeto(s) x satisface(n) las condiciones para ser elementos de \tilde{A} ? La primera de las condiciones indica que dichos objetos deben ser números enteros (x \in \mathbb{Z} ); no números con dígitos decimales, no números complejos, no vectores, no edificios, ni perros.

Pero serán solo ciertos números enteros aquellos que pertenezcan a \tilde{A} , pues también deben cumplir con \left| 2x \right| \leq 8 . Dicha condición es cierta sólo si -8 \leq 2x \leq 8 , que es equivalente a escribir -4 \leq x \leq 4 . La última expresión indica que el valor de x debe tener un valor igual a 4 , -4 , o algún intermedio entre esos dos.

Habiendo entendido las dos condiciones, sólo falta evaluar la expresión en la definición de \tilde{A} con los objetos que satisfagan ambas. Estos objetos resultan ser los números: -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , y 4 . Que después de ser evaluados en la expresión 5x , obtenemos los elementos de \tilde{A} :

\tilde{A} = \left\{ -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20 \right\} .

Comentario sobre la resolución de ejercicios

Cuando estudiaba en la escuela, solía tener mucha prisa a la hora de hacer mis tareas de matemáticas. Leía las indicaciones y resolvía los ejercicios imitando los procedimientos que me habían indicado en clase y que aparecían en los libros.

La mayoría de esos ejercicios no poseen comentarios sobre el proceso de pensamiento que seguí para resolverlos. Y ahora que los veo, parece que me esforcé en esconder lo que estaba pensando de un paso al siguiente en la solución. Eso no importaba mucho entonces porque lo que importaba era tener el resultado correcto. Pero de haber escrito lo que estaba pensando, me habría permitido recuperar lo aprendido mucho más rápido.

Esta publicación parece la resolución de un simple ejercicio de teoría de conjuntos. Pero en realidad es una práctica más profunda para documentar mis pensamientos en el pleno acto de resolución de un problema. No pretendo ostentar conocimiento, sino invitar al lector a considerar documentar sus pensamientos a detalle para que puedan reutilizarlos en el futuro, u otras personas que podrían sacar buen provecho de ese conocimiento.