La relación entre la morfología y la sintaxis del Finés

Las frases: las piezas que pueden formar oraciones

Las piezas principales de una oración son los verbos, los sustantivos, los pronombres, los numerales, las aposiciones, y los adverbios. Cada una de estas palabras puede ser la cabeza de una frase que corresponde a su rol en la oración. Y cuando es así, puede que lleven cerca algunas palabras acompañantes que, si son obligatorias se les llama complementos, y si no lo son entonces se les llama modificadores (indicados con paréntesis).

Los sustantivos son la pieza principal de las frases sustantivas. Por ejemplo, en la frase “este auto negro” (tämä) (musta) auto, “auto” es la palabra principal de la frase, mientras “tämä” y “musta” son modificadores.

Los adjetivos forman frases adjetivas, como “muy bello“: (hyvin) kaunis.

Los numerales forman frases numerales. Como por ejemplo, “dos carros”: kaksi (autoa).

Las aposiciones forman frases aposicionales, como “sin azúcar”: ilman (sokeria); o “cerca de Helsinki”: Helsingin lähellä.

Los adverbios son la cabeza de las frases adverbiales, como “muy rápidamente” (o simplemente “muy rápido“): (hyvin) nopeasti.

Las funciones sintácticas de las frases

Cada tipo de frase tiene un rol en las oraciones, llamado función sintáctica. Las más importantes son: sujeto, objeto, complemento del predicado, y las adverbiales (que expresan instrumentos, lugares, maneras, etcétera). Y según sea la función sintáctica se colocan alrededor del verbo principal de la oración.

Los verbos intransitivos (como tulla “venir”) sólo necesitan una frase: ya sea sustantiva o numeral, para desempeñar la función de sujeto. En contraste, los verbos transitivos (como ostaa “comprar”) requieren al menos dos frases (también sustantivas o numerales): una como sujeto, y otra como objeto.

Hay otros verbos intransitivos (como asua “vivir”) que requieren una frase sustantiva y otra adverbial. Y el verbo olla requiere también dos frases, normalmente una como sujeto y otra como complemento del predicado (por ejemplo Auto on musta “El carro es negro”).

Los sufijos de caso y las frases aposicionales tienen dos objetivos:

  • expresar algún significado inherente, o
  • expresar la función sintáctica de la frase en la que aparecen.

Por ejemplo, analicemos la frase Leena osti auton Kallelta “Leena le compró el auto a Kalle”. El verbo principal es osti “compró”, que está conjugado a la tercera persona del singular en tiempo imperfecto (que equivale al tiempo gramatical del español “pretérito simple” o simplemente “pasado”). Se trata de un verbo transitivo que requiere dos frases para las funciones de sustantivo y de objeto. La frase sustantiva Leena juega el papel del sustantivo de la oración. El hecho de que esté escrita en caso nominativo indica que Leena es el autor/agente/provocador del verbo. La frase sustantiva auton, escrita en caso genitivo, indica que se trata de un objeto afectado por la acción expresada por el verbo (fue comprado) y por lo tanto desempeña la función de objeto de la oración. Finalmente, el caso ablativo en la frase sustantiva Kallelta expresa el origen de la acción por lo que desempeña una función adverbial.

Los casos nominativo, genitivo y partitivo indican que la frase en que se usan llevan la función de sujeto, predicado y o complemento del predicado. El acusativo tiene el objetivo de marcar objetos pronominales (reflexivos, como en el español “me”, “te”, “se”, “nos”, “les”). Y los otros casos (esivo, translativo, inesivo, elativo, ilativo, adhesivo, ablativo, alativo, instructivo y comitativo) son marcas de frases de función sintáctica adverbial.

Las aposiciones indican que las frases en las que aparecen (frases aposicionales) desempeñan funciones adverbiales. Sin embargo, también pueden utilizarse como modificadores de una frase sustantiva (como “la silla que está al lado del sofá” tuoli, joka on sohvan lähellä).

Conjuntos – Definición de conceptos básicos

Los conjuntos son la piedra angular sobre la cuál se construyen todas las áreas de las matemáticas. Esto puede no sonar familiar, pues en la escuela quizá más bien la recordemos como la materia donde hacíamos operaciones entre números (o variables en álgebra) para conseguir resultados exactos. Los conjuntos se utilizan para definir formalmente conceptos como números naturales, números racionales, dominio, rango, funciones. Así pues, para tener un entendimiento profundo sobre las matemáticas es indispensable contar con conocimientos básicos de la teoría de conjuntos.

Un conjunto es una colección de objetos. Y a esos objetos que contiene el conjunto, les llamamos elementos. Puede haber conjuntos de toda clase de objetos: animales, personas, ciudades, etcétera. Pero en el contexto del estudio de las matemáticas, nos interesamos más por los conjuntos de objetos matemáticos como números, puntos, vectores, funciones, etcétera.

Para describir conjuntos, utilizamos una lista de sus elementos separados por comas; y esa lista la rodeamos con llaves. Por ejemplo, “\left\{ 1, 2, 3 \right\}” describe un conjunto con tres elementos (1, 2, y 3).

Hay conjuntos finitos e infinitos. Como has de imaginar, los conjuntos finitos tienen una cantidad finita de elementos (se pueden contar). Y los conjuntos infinitos son aquellos que no son finitos. Para describir conjuntos infinitos nos valemos de los puntos suspensivos. Por ejemplo, el conjunto de números enteros (al que popularmente se le refiere con el símbolo \mathbb{Z} ), que es un conjunto infinito, se puede describir como:

\mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -2, -1, 0, 1, 2, \cdots \right\} .

Para expresar matemáticamente que un objeto (como por ejemplo, x ) pertenece a un conjunto (como A ) utilizamos el símbolo “\in “: “x \in A ” se lee como “x pertenece al conjunto A “, o simplemente “x está en A “. Por el contrario, el símbolo “\notin ” se utiliza para expresar que un objeto “no pertenece a” (o “no está dentro de”) un conjunto. Así “y \notin A ” se puede leer como “y no está en A “.

La igualdad entre dos conjuntos sucede cuando ambos tienen exactamente los mismos elementos. Para expresar matemáticamente la igualdad de los conjuntos A y B los escribimos separados por el signo “= “, es decir “A=B “. Lo anterior implica que si x \in A , entonces x \in B . Y al contrario, la desigualdad entre dos conjuntos sucede cuando alguno tiene uno o más elementos que el otro no tiene. Para expresar que los conjuntos C y D son diferentes, los colocamos alrededor del signo “\neq “, así: “C \neq D “.

Hay un conjunto en el cuál tenemos un interés muy particular: el conjunto vacío. Que como su nombre sugiere, no tiene elemento alguno. Como no tiene elementos, su descripción consiste en unas llaves sin nada entre ellas “\left\{ \right\} “. O también, para referirnos a él, podemos utilizar el símbolo “\varnothing “.

A los matemáticos les gusta ponerle nombres a toda clase de atributos que tienen los objetos. Y por eso también le pusieron un nombre especial a la cantidad de elementos que tiene un conjunto: cardinalidad (a la que también podemos referirnos como el “tamaño del conjunto”). Y para expresar la cardinalidad de un conjunto A lo escribimos entre dos barras verticales: “\left| A \right| “. Por ejemplo, si A = \left\{ 2, 8, 12 \right\} entonces su cardinalidad tiene un valor de \left| A \right| = 3 .

Otra notación frecuente para describir conjuntos consiste en escribir una expresión matemática y un grupo de condiciones que la expresión debe cumplir para que su resultado pertenezca al conjunto. A esta notación se le llama notación constructora. Al utilizarla, se escribe la expresión y la condición separadas por dos puntos, y todo rodeado por llaves. Por ejemplo, para describir el conjunto que abarca los números enteros que son pares podemos escribir:

E = \left\{ n \in \mathbb{Z} : n \ \mathrm{es\ par} \right\} .

Referencia

Richard Hammack, “Sets” en “Book of Proof (3rd Edition)”. 2018.

Teoría de Conjuntos – Ejercicio de construcción de un conjunto

Enunciado

Escriba el siguiente conjunto listando sus elementos entre llaves:

\tilde{A} = \left\{ 5x : x \in \mathbb{Z}, \left| 2x \right| \leq 8 \right\} .

Solución

El enunciado del ejercicio define el conjunto \tilde{A} utilizando la notación generadora de conjuntos. Más a detalle, está compuesta de una expresión (5x ), y de dos condiciones (x \in \mathbb{Z} , y \left| 2x \right| \leq 8 ). Los elementos del conjunto son los resultados de evaluar en la expresión aquellos objetos que satisfagan las condiciones.

¿Y qué objeto(s) x satisface(n) las condiciones para ser elementos de \tilde{A} ? La primera de las condiciones indica que dichos objetos deben ser números enteros (x \in \mathbb{Z} ); no números con dígitos decimales, no números complejos, no vectores, no edificios, ni perros.

Pero serán solo ciertos números enteros aquellos que pertenezcan a \tilde{A} , pues también deben cumplir con \left| 2x \right| \leq 8 . Dicha condición es cierta sólo si -8 \leq 2x \leq 8 , que es equivalente a escribir -4 \leq x \leq 4 . La última expresión indica que el valor de x debe tener un valor igual a 4 , -4 , o algún intermedio entre esos dos.

Habiendo entendido las dos condiciones, sólo falta evaluar la expresión en la definición de \tilde{A} con los objetos que satisfagan ambas. Estos objetos resultan ser los números: -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , y 4 . Que después de ser evaluados en la expresión 5x , obtenemos los elementos de \tilde{A} :

\tilde{A} = \left\{ -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20 \right\} .

Comentario sobre la resolución de ejercicios

Cuando estudiaba en la escuela, solía tener mucha prisa a la hora de hacer mis tareas de matemáticas. Leía las indicaciones y resolvía los ejercicios imitando los procedimientos que me habían indicado en clase y que aparecían en los libros.

La mayoría de esos ejercicios no poseen comentarios sobre el proceso de pensamiento que seguí para resolverlos. Y ahora que los veo, parece que me esforcé en esconder lo que estaba pensando de un paso al siguiente en la solución. Eso no importaba mucho entonces porque lo que importaba era tener el resultado correcto. Pero de haber escrito lo que estaba pensando, me habría permitido recuperar lo aprendido mucho más rápido.

Esta publicación parece la resolución de un simple ejercicio de teoría de conjuntos. Pero en realidad es una práctica más profunda para documentar mis pensamientos en el pleno acto de resolución de un problema. No pretendo ostentar conocimiento, sino invitar al lector a considerar documentar sus pensamientos a detalle para que puedan reutilizarlos en el futuro, u otras personas que podrían sacar buen provecho de ese conocimiento.