Conjuntos – Definición de conceptos básicos

Los conjuntos son la piedra angular sobre la cuál se construyen todas las áreas de las matemáticas. Esto puede no sonar familiar, pues en la escuela quizá más bien la recordemos como la materia donde hacíamos operaciones entre números (o variables en álgebra) para conseguir resultados exactos. Los conjuntos se utilizan para definir formalmente conceptos como números naturales, números racionales, dominio, rango, funciones. Así pues, para tener un entendimiento profundo sobre las matemáticas es indispensable contar con conocimientos básicos de la teoría de conjuntos.

Un conjunto es una colección de objetos. Y a esos objetos que contiene el conjunto, les llamamos elementos. Puede haber conjuntos de toda clase de objetos: animales, personas, ciudades, etcétera. Pero en el contexto del estudio de las matemáticas, nos interesamos más por los conjuntos de objetos matemáticos como números, puntos, vectores, funciones, etcétera.

Para describir conjuntos, utilizamos una lista de sus elementos separados por comas; y esa lista la rodeamos con llaves. Por ejemplo, “\left\{ 1, 2, 3 \right\}” describe un conjunto con tres elementos (1, 2, y 3).

Hay conjuntos finitos e infinitos. Como has de imaginar, los conjuntos finitos tienen una cantidad finita de elementos (se pueden contar). Y los conjuntos infinitos son aquellos que no son finitos. Para describir conjuntos infinitos nos valemos de los puntos suspensivos. Por ejemplo, el conjunto de números enteros (al que popularmente se le refiere con el símbolo \mathbb{Z} ), que es un conjunto infinito, se puede describir como:

\mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -2, -1, 0, 1, 2, \cdots \right\} .

Para expresar matemáticamente que un objeto (como por ejemplo, x ) pertenece a un conjunto (como A ) utilizamos el símbolo “\in “: “x \in A ” se lee como “x pertenece al conjunto A “, o simplemente “x está en A “. Por el contrario, el símbolo “\notin ” se utiliza para expresar que un objeto “no pertenece a” (o “no está dentro de”) un conjunto. Así “y \notin A ” se puede leer como “y no está en A “.

La igualdad entre dos conjuntos sucede cuando ambos tienen exactamente los mismos elementos. Para expresar matemáticamente la igualdad de los conjuntos A y B los escribimos separados por el signo “= “, es decir “A=B “. Lo anterior implica que si x \in A , entonces x \in B . Y al contrario, la desigualdad entre dos conjuntos sucede cuando alguno tiene uno o más elementos que el otro no tiene. Para expresar que los conjuntos C y D son diferentes, los colocamos alrededor del signo “\neq “, así: “C \neq D “.

Hay un conjunto en el cuál tenemos un interés muy particular: el conjunto vacío. Que como su nombre sugiere, no tiene elemento alguno. Como no tiene elementos, su descripción consiste en unas llaves sin nada entre ellas “\left\{ \right\} “. O también, para referirnos a él, podemos utilizar el símbolo “\varnothing “.

A los matemáticos les gusta ponerle nombres a toda clase de atributos que tienen los objetos. Y por eso también le pusieron un nombre especial a la cantidad de elementos que tiene un conjunto: cardinalidad (a la que también podemos referirnos como el “tamaño del conjunto”). Y para expresar la cardinalidad de un conjunto A lo escribimos entre dos barras verticales: “\left| A \right| “. Por ejemplo, si A = \left\{ 2, 8, 12 \right\} entonces su cardinalidad tiene un valor de \left| A \right| = 3 .

Otra notación frecuente para describir conjuntos consiste en escribir una expresión matemática y un grupo de condiciones que la expresión debe cumplir para que su resultado pertenezca al conjunto. A esta notación se le llama notación constructora. Al utilizarla, se escribe la expresión y la condición separadas por dos puntos, y todo rodeado por llaves. Por ejemplo, para describir el conjunto que abarca los números enteros que son pares podemos escribir:

E = \left\{ n \in \mathbb{Z} : n \ \mathrm{es\ par} \right\} .

Referencia

Richard Hammack, “Sets” en “Book of Proof (3rd Edition)”. 2018.

Teoría de Conjuntos – Ejercicio de construcción de un conjunto

Enunciado

Escriba el siguiente conjunto listando sus elementos entre llaves:

\tilde{A} = \left\{ 5x : x \in \mathbb{Z}, \left| 2x \right| \leq 8 \right\} .

Solución

El enunciado del ejercicio define el conjunto \tilde{A} utilizando la notación generadora de conjuntos. Más a detalle, está compuesta de una expresión (5x ), y de dos condiciones (x \in \mathbb{Z} , y \left| 2x \right| \leq 8 ). Los elementos del conjunto son los resultados de evaluar en la expresión aquellos objetos que satisfagan las condiciones.

¿Y qué objeto(s) x satisface(n) las condiciones para ser elementos de \tilde{A} ? La primera de las condiciones indica que dichos objetos deben ser números enteros (x \in \mathbb{Z} ); no números con dígitos decimales, no números complejos, no vectores, no edificios, ni perros.

Pero serán solo ciertos números enteros aquellos que pertenezcan a \tilde{A} , pues también deben cumplir con \left| 2x \right| \leq 8 . Dicha condición es cierta sólo si -8 \leq 2x \leq 8 , que es equivalente a escribir -4 \leq x \leq 4 . La última expresión indica que el valor de x debe tener un valor igual a 4 , -4 , o algún intermedio entre esos dos.

Habiendo entendido las dos condiciones, sólo falta evaluar la expresión en la definición de \tilde{A} con los objetos que satisfagan ambas. Estos objetos resultan ser los números: -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , y 4 . Que después de ser evaluados en la expresión 5x , obtenemos los elementos de \tilde{A} :

\tilde{A} = \left\{ -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20 \right\} .

Comentario sobre la resolución de ejercicios

Cuando estudiaba en la escuela, solía tener mucha prisa a la hora de hacer mis tareas de matemáticas. Leía las indicaciones y resolvía los ejercicios imitando los procedimientos que me habían indicado en clase y que aparecían en los libros.

La mayoría de esos ejercicios no poseen comentarios sobre el proceso de pensamiento que seguí para resolverlos. Y ahora que los veo, parece que me esforcé en esconder lo que estaba pensando de un paso al siguiente en la solución. Eso no importaba mucho entonces porque lo que importaba era tener el resultado correcto. Pero de haber escrito lo que estaba pensando, me habría permitido recuperar lo aprendido mucho más rápido.

Esta publicación parece la resolución de un simple ejercicio de teoría de conjuntos. Pero en realidad es una práctica más profunda para documentar mis pensamientos en el pleno acto de resolución de un problema. No pretendo ostentar conocimiento, sino invitar al lector a considerar documentar sus pensamientos a detalle para que puedan reutilizarlos en el futuro, u otras personas que podrían sacar buen provecho de ese conocimiento.